5.1 Círculo de Mohr para esfuerzos

Esta representación es extremadamente útil para apreciar las relaciones entre los esfuerzos normal y cortante que actúan sobre ciertos planos inclinados en un punto del cuerpo esforzado. Para determinar el círculo de Mohr, reformulamos la Ecs. (6.-4) como sigue:

Estas ecuaciones son las ecuaciones paramétricas de un círculo, con el ángulo 2Ө como parámetro. Al elevar al cuadrado ambos lados de cada ecuación y sumarlos se elimina el parámetro; la ecuación resultante es:

Esta ecuación puede formularse en una forma más sencilla mediante la siguiente notación:

La ecuación (a) resulta ahora:

Que es la ecuación de un círculo en coordenadas  y . El círculo tiene radio R y su centro tiene coordenadas =  y

Tomaremos  como la abscisa y  como la ordenada. Sin embargo, el círculo puede trazarse en dos formas diferentes. 

Se procede ahora a construir el círculo de Morh para un elemento  en esfuerzo plano (figs. 6-15 a y b). Los pasos son los siguientes: (1) Localizar el centro C del círculo en el punto de coordenadas =  y  (fig. 6-15 c). Localizar el punto A, que es el punto sobre el círculo que representa las condiciones de esfuerzo sobre la cara x del elemento (Ө=0); para este punto tenemos  =   y =  (3) Localizar el punto B, el cual representa las condiciones de esfuerzo sobre la cara y del elemento (Ө=90°). Las coordenadas de este punto son =   y =  ya que cuando el elemento  se gira un ángulo Ө=90°, El esfuerzo normal  se vuelve  y el esfuerzo cortante  se vuelve negativo . Obsérvese que una recta desde A hasta B pasa a través del centro C. Por lo que el punto A y B, que representan los esfuerzos sobre planos a 90° uno del otro, están en los extremos opuestos del diámetro (separados 180° en el círculo). (4) Dibujar  el círculo a través de los puntos A y B con el centro en C.

Obsérvese que el radio R del círculo es la longitud DE la recta CA. Para calcular esta longitud, observamos que la abscisas de los punto C y A son ( )/2 y , respectivamente. La diferencia en estas abscisas es ( )/2, como se muestra en la fig. 6-15 c. También la ordenada del punto A es . Por lo tanto, la recta CA representa la hipotenusa de un triángulo rectángulo que tiene un lado de longitud ( )/2, y otro lado de longitud . Al calcular la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los 2 lados se obtiene R.

Determinemos ahora los esfuerzos que actúan sobre una cara inclinada del elemento orientado a un ángulo Ө a partir del eje x (fig. 6-15 b). Sobre el círculo de Mohr, tomamos un ángulo 2Өen sentido contrario al de las manecillas del reloj a partir del radio CA, ya que A es el punto para la el cual Ө=0°. El ángulo 2Ө ubica al punto D sobre el círculo. Este punto tiene las coordenadas  del punto D están dadas por las ecuaciones de transformación de esfuerzos, representamos  por β el ángulo entre la línea radical CD y el eje . Luego, a partir de la geometría de la figura, obtenemos las cuatro relaciones siguientes:

Bibliografía

Mecánica de Materiales

James M. Gere

Grupo Editorial Iberoamérica

Segunda edición