En este punto consideramos el análisis de vigas que presentan una mayor cantidad de reacciones que las que se pueden determinar por medio de las ecuaciones de equilibrio estático. Tales vigas se dice que son estáticamente indeterminadas, y su análisis requiere que se calculen las deflexiones.
Cuando la viga es estáticamente indeterminada no se pueden determinar las fuerzas sólo mediante el equilibrio. En vez de ello, se deben tomar en cuenta las deflexiones de la viga y obtener ecuaciones de compatibilidad para completar las ecuaciones de equilibrio. Las estructuras estáticamente indeterminadas involucran miembros en tensión y compresión.
El la fig. 8-1 se representan varios tipos de vigas estáticamente indeterminadas. Las viga de la parte (a) de la figura está fija (o empotrada) en el soporte A está simplemente apoyada en B; tal viga se denomina viga en voladizo apuntada o viga simplemente empotrada. Las reacciones de la viga consisten en una fuerza horizontal y otra vertical en A, un momento en A y una fuerza vertical en B. como sólo existen tres ecuaciones independientes basadas en el equilibrio estático para la viga, no es posible calcular las cuatro reacciones mediante la estática. El número de reacciones excedentes respecto al de ecuaciones de equilibrio es llamado grado de indeterminación estática. Luego, la viga representada en la fig. 8-1 a se dice que es estáticamente indeterminada en primer grado. Cualquier reacción excedente respecto al número necesario para soportar la estructura en forma estáticamente determinada se denomina redundante estática y el número de tales redundantes necesariamente es el mismo que el grado de indeterminación estática. Por ejemplo, la reacción mostrada en la Fig. 8-1 a puede considerarse como una reacción redundante. Obsérvese que la estructura se convierte en una viga en voladizo cuando se retira el apoyo B. La estructura estáticamente determinada que se obtiene al retirar la redundante se designa estructura liberada o estructura primaria.
Otro planteamiento para la viga de la Fig. 8-1 a es considerar el momento reactivo como la redundante: si el momento reactivo es retirado, la estructura liberada es una viga simple con un soporte articulado en A y un soporte de rodillo en B.
Un caso especial ocurre si todas las cargas sobre la viga son verticales (Fig. 8-1 b), ya que entonces desaparece la reacción horizontal. Sin embargo, la viga aún es estáticamente indeterminada en primer grado dado que existen ahora dos ecuaciones de equilibrio estático independientes y tres reacciones.
Una viga de extremos fijos, a veces llamada viga doblemente empotrada, o viga fija, se muestra en la fig. 8-1 c. En cada soporte existen tres cantidades reactivas; por lo cual, la viga tiene un total de seis reacciones desconocidas. Como existen tres ecuaciones de equilibrio, la viga es estáticamente indeterminada en tercer grado. Si se consideran la reacciones en un extremo como las tres redundantes y se retiran de la estructura, se obtiene una viga en voladizo como estructura liberada. Si se retiran los 2 momentos reactivos del extremo fijo y una reacción horizontal, la estructura liberada es una viga simple.
Considerando nuevamente el caso especial con cargas verticales únicamente (Fig. 8-1 d), se encuentra que sólo deben determinarse cuatro reacciones. El número de ecuaciones de equilibrio estático es dos: por lo tanto, la viga es estáticamente indeterminada en segundo grado.
Las dos vigas restantes mostradas en la Fig. 8-1 son ejemplos de vigas continuas, llamadas así porque tienen más de un claro y son continuos sobre un apoyo. La viga mostrada en la fig. 8-1 e es estáticamente indeterminada en primer grado por que hay cuatro fuerzas reactivas y sólo tres ecuaciones de equilibrio estático. Si se elige como la redundante y se retira el apoyo B de la viga, se tendrá una viga simple estática determinada AC. Si se selecciona como la redúndate, la estructura liberada será una viga simple AB con un voladizo BC.
La última viga mostrada en la Fig. 8-1 es estáticamente indeterminada en segundo grado si se eligen y como las reacciones redundantes la estructura liberada es una viga en voladizo.
Hay diversos métodos para el análisis de vigas astáticamente indeterminados:
-Análisis mediante las ecuaciones diferenciales de la curva de flexión
- Método del área de momentos
-Método de superposición (método de flexibilidades)
Bibliografía
Mecánica de Materiales
James M. Gere
Grupo Editorial Iberoamérica
Segunda edición
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