4.1 Diagrama de cortante y momento flexionante en vigas estáticamente determinadas

Definición de viga: es una barra sometida a fuerzas o pares situados en un plano que contiene un eje longitudinal. Las vigas se pueden clasificar de varias maneras. Una forma es de acuerdo con sus condiciones de apoyo.

a) Viga en voladizo: si la viga se encuentra fija solamente en un extremo de tal forma que su eje no pueda gira en ese punto se determina gráficamente, fig.4-1 b. las reacciones en el empotramiento  consiste en una fuerza horizontal y en una fuerza vertical junto con un par.

b)Vigas simplemente apoyadas: una viga que simplemente apoyada en dos extremos se determina gráficamente fig. 4-1 a. El extremo A de la viga no se desplaza pero el eje longitudinal de la viga puede girar en el plano de la figura. Por lo tanto, un apoyo articulado es capaz de originar una fuerza reactiva con componentes vertical y horizontal. En el apoyo B se impiden los desplazamientos en la dirección vertical pero no en la dirección  horizontal; por lo que el apoyo puede soportar una fuerza vertical pero no horizontal. Desde luego, el eje de la viga puede girar libremente en B al igual que en A.

También las reacciones verticales en los apoyos de una viga simple pueden operar de modo ascendente o descendente, según se requiera para equilibrarla.

c)Viga con un extremo volado: Esta viga se apoya únicamente en A y B, pero sobre sale el apoyo hasta  el punto C, que es un extremo libre.

Las cargas que operan en las vigas pueden ser varias clases como se muestra en la fig.4-1.   y son cargas concentradas. Las cargas distribuidas actúan a lo largo de un tramo como lo indica la carga “q” de la fig. 4-1 a y estas se miden por su intensidad se miden en newton por metro o libras por pie. Una carga uniforme, tiene una intensidad constante “q” por unidad de longitud. Una carga variable tiene una intensidad que varía con la longitud a lo largo del eje.

Las vigas que se muestran en la fig. 4-1 son estáticamente determinadas, por lo que sus reacciones pueden determinarse mediante ecuaciones de equilibrio.

Las fuerzas cortantes V y los momentos flexionantes M en una viga son fundamentales de la distancia x medida según por el eje longitudinal. Para obtener esta información es necesario trazar una gráfica que muestre la forma como varia V y M en función de x. para esta gráfica se toma como abscisa la sección transversal  (distancia x) y como ordenada el valor correspondiente ya sea de la fuerza cortante o del momento flexionante. Esta gráfica se denomina diagramas de fuerza cortante y diagramas de momento flexionante.

Para describir la contribución de los diagramas, consideremos una viga simple AB que soporta una crag concentrada P (fig. 4-9 a)  las reacciones par esta viga son:

Determinadas a partir del equilibrio de la viga completa. Ahora se corta la viga a la izquierda de la carga P y a una distancia x del apoyo A. Luego, se construye un diagrama de cuerpo libre de la posición izquierda de la viga, y del equilibrio se determina que:

Estas ecuaciones muestra que la fuerza cortante es constante desde el apoyo A hasta el punto de aplicación de la carga P, y que el momento flexionante varía con x. Las expresiones de V y M se trazan directamente debajo del esquema de la viga (fig. 4-9).

Los valores máximos o mínimos de las fuerzas cortantes y momentos flexionantes son necesarios en el diseño de vigas. Para a una viga simple con una sola carga concentrada, la fuerza  cortante máxima se presenta en el extremo de la viga más cercano a la carga concentrada y el momento flexionante máximo se presenta bajo la misma carga.

La elaboración de un diagrama de fuerza y momento flexionante se muestra en la fig 4-10. Consideremos una viga simple con una carga uniformemente distribuida.

La primera de estas ecuaciones muestra que el diagrama de fuerzas cortante es una recta inclinada. El diagrama de momento flexionante es una curva parabólica simétrica respecto al centro de la viga.

En cada sección transversal; la pendiente del diagrama del momento flexiónate es igual a la fuerza cortante.

El valor máximo del momento flexionante se presenta en el punto en donde dM/dx=0.

Si varias cargas concentradas actúan sobre una viga simple (fig. 4-11a) se puede determinar las expresiones de V y M para cada región de la viga entre los puntos de aplicación de la carga. 

Para la primera región (0<x< ) se obtiene:

Para la segunda región ( <x< ) se obtiene:

Para la tercera sección ( <x< )  se  obtiene:

Finalmente se obtiene:

En esta forma se obtiene para los momentos flexionantes los valores:

A partir de estos valores se puede construir rápidamente el diagrama de momento flexiónate (fig. 4-11 c).

Bibliografía

Mecánica de Materiales

James M. Gere

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4.2 Esfuerzo normal y cortante en vigas

A partir de las deformaciones normales €_x  podemos obtener los esfuerzos β_x que actúan perpendiculares a la sección transversal de una viga. Cada viga longitudinal de la viga está sometida únicamente a tensión o compresión; en consecuencia el diagrama esfuerzo-deformación para el material proporcionara la relación entre €_x y β_x.

Los momentos de inercia tienen dimensión de longitud a la cuarta potencia, y algunas unidades representativas son plg⁴, m⁴,  y mm⁴, para cálculos de vigas. Así los esfuerzos normales que actúan sobre la sección transversal varían linealmente con la distancia y medida a partir de la superficie neutra.

En general, esta resultante debe consistir en una fuerza horizontal en la dirección x y  un momento que actúaalrededor del eje z. sin embargo, dado que no actúan fuerzas axiales sobre la sección transversal, la única resultante es el momento M_o

.

Los esfuerzos normales se obtienen mediante la sig. ecuación:

Β_x= My/I

Esta ecuación establece que los esfuerzos son proporcionales al momento flexionante M e inversamente proporcionales al momento de inercia I de la sección transversal.

Cuando una viga se somete a flexión no uniforme, actúan simultáneamente momentos flexionantes M y las fuerzas cortantes V sobre la sección transversal.

Podemos suponer que probablemente los esfuerzos cortantes £ actúan paralelos a la fuerza cortante V. supongamos también que la distribución de los esfuerzos cortantes es uniforme a lo ancho de la viga. El empleo de estas dos suposiciones nos permitirá determinar completamente la distribución de los esfuerzos cortantes que actúan sobre la sección transversal.

De acuerdo con las suposiciones anteriores, los esfuerzos cortantes verticales £ están uniformemente distribuidos sobre las caras verticales de este elemento. También sabemos que los esfuerzos cortantes sobre un lado de un elemento se acompañan por esfuerzos cortantes de igual magnitud que actúan sobre caras perpendiculares del elemento. Por lo que deben presentarse esfuerzos cortantes horizontales entre capas horizontales de la viga, así como esfuerzos cortantes transversales sobre las secciones transversales  verticales. En ningún punto de la viga estos esfuerzos cortantes complementarios son iguales en su magnitud.

£= VQ/Ib

Esta ecuación, conocida también como fórmula del cortante, puede emplearse para determinar el esfuerzo cortante en cualquier punto de la sección transversal. Para determinar como varia el esfuerzo, debemos examinar como varia Q, ya que V, I y b son constantes para una sección transversal dad.

Bibliografía

Mecánica de Materiales

Autor: James M. Gere y Stephen P. Timoshenko

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4.3 Deflexión en vigas

En análisis estructural, se considera a las deflexiones, como la respuesta estructural que expresa un momento de parámetros que responde a una acción de cargas aplicadas y las deflexiones son en cantidades no visibles. Las deflexiones en estructuras se pueden estimar mediante métodos de cálculo de los cuales haremos mención de los más conocidos:

Método de trabajo real:

Este método utiliza el principio de conservación de energía que genera el trabajo externo, el cual debe ser igual al trabajo interno de deformación producto por los esfuerzos causados por las cargas. La desventaja del método radica en su limitación, porque solo analiza una incógnita, no se amplía este método a más de un desplazamiento o rotación.

Método de trabajo virtual:

Este método es el más versátil de los métodos tradicionales para evaluar deflexiones elásticas de estructuras. Este método solo es aplicable a aquellos casos en donde está permitida la superposición por su forma finita de análisis.

Método de la doble integración:

Este método permite ver la ecuación de curvatura de la viga, la cual resulta del análisis de la ecuación diferencial de la línea elástica de una viga a flexión pura. La primera integración de la ecuación de la pendiente de la elástica en cualquier punto; la segunda integración se obtiene la ecuación de la elástica misma.

Método de áreas de momentos:

Este método se basa en dos teoremas que resultan muy útiles para el cálculo de pendientes y deflexiones de vigas y pórticos.

Método de la viga conjugada:

Este método consiste en cambiar el problema de encontrar las pendientes y deflexiones causadas en una viga por un sistema de cargas aplicadas. Tiene la ventaja de que no necesita conocer previamente un punto de tangente cero, por lo cual se puede averiguar directamente la pendiente y deflexión en cualquier punto de la elástica.

Bibliografía

Mecánica de Materiales

James M. Gere y Stephen P. Timoshenko
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4.4 Vigas estáticamente indeterminadas

En este punto consideramos el análisis de vigas que presentan una mayor cantidad de reacciones que las que se pueden determinar por medio de las ecuaciones de equilibrio estático. Tales vigas se dice que son estáticamente indeterminadas, y su análisis requiere que se calculen las deflexiones.

Cuando la viga es estáticamente indeterminada no se pueden determinar las fuerzas sólo mediante el equilibrio. En vez de ello, se deben tomar en cuenta las deflexiones de la viga y obtener ecuaciones de compatibilidad para completar las  ecuaciones de equilibrio. Las estructuras estáticamente indeterminadas involucran miembros en tensión y compresión.

El la fig. 8-1 se representan varios tipos de vigas estáticamente indeterminadas. Las viga de la parte (a) de la figura está fija (o empotrada) en el soporte A está simplemente apoyada en B; tal viga se denomina viga en voladizo apuntada o viga simplemente empotrada. Las reacciones de la viga consisten en una fuerza horizontal y otra vertical en A, un momento en A y una fuerza vertical en B. como sólo existen tres ecuaciones independientes basadas en el equilibrio estático para la viga, no es posible calcular las cuatro reacciones mediante la estática. El número de reacciones excedentes respecto al de ecuaciones de equilibrio es llamado grado de indeterminación estática. Luego, la viga representada en la fig. 8-1 a se dice que es estáticamente indeterminada en primer grado. Cualquier reacción excedente respecto al número necesario para soportar la estructura en forma estáticamente determinada se denomina redundante estática y el número de tales redundantes necesariamente es el mismo que el grado de indeterminación estática. Por ejemplo, la reacción  mostrada en la Fig. 8-1 a puede considerarse como una reacción redundante. Obsérvese que la estructura se convierte en una viga en voladizo cuando se retira el apoyo B. La estructura estáticamente determinada que se obtiene al retirar la redundante se designa estructura liberada o estructura primaria.

Otro planteamiento para la viga de la Fig. 8-1 a es considerar el momento reactivo  como la redundante: si el momento reactivo es retirado, la estructura liberada es una viga simple con un soporte articulado en A y un soporte de rodillo en B.

Un caso especial ocurre si todas las cargas sobre la viga son verticales (Fig. 8-1 b), ya que entonces desaparece la reacción horizontal. Sin embargo, la viga aún es estáticamente indeterminada en primer grado dado que existen ahora dos ecuaciones de equilibrio estático independientes y tres reacciones.

Una viga de extremos fijos, a veces llamada viga doblemente empotrada, o viga fija, se muestra en la fig. 8-1 c. En cada soporte existen tres cantidades reactivas; por lo cual, la viga tiene un total de seis reacciones desconocidas. Como existen tres ecuaciones de equilibrio, la viga es estáticamente indeterminada en tercer grado. Si se consideran la reacciones en un extremo como las tres redundantes  y se retiran de la estructura, se obtiene una viga en voladizo como estructura liberada. Si se retiran los 2 momentos reactivos del extremo fijo y una reacción horizontal, la estructura liberada es una viga simple.

Considerando nuevamente el caso especial con cargas verticales únicamente (Fig. 8-1 d), se encuentra que sólo deben determinarse cuatro reacciones. El número de ecuaciones de equilibrio estático es dos: por lo tanto, la viga es estáticamente indeterminada en segundo grado.

Las dos vigas restantes mostradas en la Fig. 8-1 son ejemplos de vigas continuas, llamadas así porque tienen más de un claro y son continuos sobre un apoyo. La viga mostrada en la fig. 8-1 e es estáticamente indeterminada en primer grado por que hay cuatro fuerzas reactivas y sólo tres ecuaciones de equilibrio estático. Si  se elige como la redundante y se retira el apoyo B de la viga, se tendrá una viga simple estática determinada  AC. Si se selecciona  como la redúndate, la estructura liberada será una viga simple AB con un voladizo BC.

La última viga mostrada en la Fig. 8-1 es estáticamente indeterminada en segundo grado si se eligen  y  como las reacciones redundantes la estructura liberada es una viga en voladizo.

Hay diversos métodos para el análisis de vigas astáticamente indeterminados:

-Análisis mediante las ecuaciones diferenciales de la curva de flexión 

- Método del área de momentos

-Método de superposición (método de flexibilidades)

Bibliografía

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James M. Gere

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5.1 Círculo de Mohr para esfuerzos

Esta representación es extremadamente útil para apreciar las relaciones entre los esfuerzos normal y cortante que actúan sobre ciertos planos inclinados en un punto del cuerpo esforzado. Para determinar el círculo de Mohr, reformulamos la Ecs. (6.-4) como sigue:

Estas ecuaciones son las ecuaciones paramétricas de un círculo, con el ángulo 2Ө como parámetro. Al elevar al cuadrado ambos lados de cada ecuación y sumarlos se elimina el parámetro; la ecuación resultante es:

Esta ecuación puede formularse en una forma más sencilla mediante la siguiente notación:

La ecuación (a) resulta ahora:

Que es la ecuación de un círculo en coordenadas  y . El círculo tiene radio R y su centro tiene coordenadas =  y

Tomaremos  como la abscisa y  como la ordenada. Sin embargo, el círculo puede trazarse en dos formas diferentes. 

Se procede ahora a construir el círculo de Morh para un elemento  en esfuerzo plano (figs. 6-15 a y b). Los pasos son los siguientes: (1) Localizar el centro C del círculo en el punto de coordenadas =  y  (fig. 6-15 c). Localizar el punto A, que es el punto sobre el círculo que representa las condiciones de esfuerzo sobre la cara x del elemento (Ө=0); para este punto tenemos  =   y =  (3) Localizar el punto B, el cual representa las condiciones de esfuerzo sobre la cara y del elemento (Ө=90°). Las coordenadas de este punto son =   y =  ya que cuando el elemento  se gira un ángulo Ө=90°, El esfuerzo normal  se vuelve  y el esfuerzo cortante  se vuelve negativo . Obsérvese que una recta desde A hasta B pasa a través del centro C. Por lo que el punto A y B, que representan los esfuerzos sobre planos a 90° uno del otro, están en los extremos opuestos del diámetro (separados 180° en el círculo). (4) Dibujar  el círculo a través de los puntos A y B con el centro en C.

Obsérvese que el radio R del círculo es la longitud DE la recta CA. Para calcular esta longitud, observamos que la abscisas de los punto C y A son ( )/2 y , respectivamente. La diferencia en estas abscisas es ( )/2, como se muestra en la fig. 6-15 c. También la ordenada del punto A es . Por lo tanto, la recta CA representa la hipotenusa de un triángulo rectángulo que tiene un lado de longitud ( )/2, y otro lado de longitud . Al calcular la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los 2 lados se obtiene R.

Determinemos ahora los esfuerzos que actúan sobre una cara inclinada del elemento orientado a un ángulo Ө a partir del eje x (fig. 6-15 b). Sobre el círculo de Mohr, tomamos un ángulo 2Өen sentido contrario al de las manecillas del reloj a partir del radio CA, ya que A es el punto para la el cual Ө=0°. El ángulo 2Ө ubica al punto D sobre el círculo. Este punto tiene las coordenadas  del punto D están dadas por las ecuaciones de transformación de esfuerzos, representamos  por β el ángulo entre la línea radical CD y el eje . Luego, a partir de la geometría de la figura, obtenemos las cuatro relaciones siguientes:

Bibliografía

Mecánica de Materiales

James M. Gere

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